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整体把握重点突破浅谈二次函数的教学

时间：2023-02-24 17:57:30 数学论文我要投稿

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整体把握重点突破浅谈二次函数的教学

整体把握重点突破浅谈二次函数的教学
　　
　　作者/刘召生
　　
　　（江苏省新沂市第十中学，221400）
　　
　　摘要：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。其图像因为是曲线，关系式变化形式多，应用比较复杂，学习难度较大。教学中，应抓住重点组织教学，立足整体设计教法，帮助学生系统把握二次函数的图像和性质，明晰二次函数应用的方法。
　　
　　关键词：二次函数重点整体难点
　　
　　二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。二次函数和一次函数、反比例函数一样，都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。二次函数的图像因为是曲线，关系式变化形式多，应用比较复杂。我在二次函数的教学中，整体把握，重点突破，收到了较好的教学效果。
　　
　　一、抓住重点组织教学
　　
　　（一）通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式，并体会二次函数的意义
　　
　　这里体现了数学与生活的关系。教学中，应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手，引导学生列出函数关系式。然后，让学生观察、思考：所列的函数关系式有什么共同点？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？从而引导出二次函数的概念，让学生认识二次函数的各部分名称。如此，学生能够体会到二次函数来自生活，感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型，激发学习的积极性。
　　
　　（二）采用“描点法”画出二次函数的图像，从图像上认识二次函数的性质
　　
　　这是二次函数的教学重点。一方面，学生要学会画出二次函数的图像；另一方面，要能从图像上认识二次函数的性质。教学中，教师要扎实地让学生画出二次函数的图像（不能一带而过，就让学生去解决与图像有关的复杂题），即运用探索函数图像的方法——“描点法”，一步一步地列表、描点、连线，加深对二次函数图像形状的认识。然后，引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质（学生一边看图像，一边说性质，很直观）。要提醒的是，不仅要让学生画出二次函数的准确图像，还要会画二次函数的示意图像。
　　
　　（三）利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴，解决简单的实际问题
　　
　　这里包括两点：一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质，这是学生对二次函数性质的进一步认识；二是列二次函数的关系式解决问题，这是学生学习二次函数的落脚点所在。从直观的图像到关系式认识二次函数的性质，是一个提升；从实际问题中提炼出二次函数，通过研究，再回到实际问题中去，这是一个跨越。(教学论文　fanwen.weiyujianbao.cn)教学中，为了突破这一难点，可以从二次函数的图像入手，将二次函数的关系式与其图像比照着进行教学，由图像认识关系式，由关系式认识图像。这种“捆绑式”教学，可以促进学生对借助公式确定对二次函数的顶点、开口方向的理解和掌握。而在运用二次函数解决简单的实际问题时，应将知识块分类后进行教学，这样效果较好。
　　
　　（四）运用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
　　
　　这是二次函数的内部应用。即从函数的角度审视一元二次方程与二次函数的关系，并根据直观图形，借助计算器探索函数值为0的自变量的值，进而得出用二次函数图像求一元二次方程的近似解的方法。在这个过程中，应通过直观图像，研究函数值与自变量的变化，渗透无限逼近和区间套的数学思想方法，为学生高中阶段的函数学习做好铺垫。
　　
　　二、立足整体设计教法
　　
　　二次函数的整体性，体现在其图像、性质以及应用上。教材从学生熟悉的简单实际问题出发，建立二次函数的概念，立足运动、变换的观点，由特殊到一般，分别探讨各种形式的二次函数的图像和性质，最后以3个探究性问题为例，探讨二次函数在实际中的应用。学生学习二次函数的图像和性质的障碍主要体现在解析式、图像、性质的对应上，应用的主要障碍则是建立二次函数解析式，并利用解析式解决问题。
　　
　　（一）层层递进，系统把握二次函数的图像和性质
　　
　　二次函数的一般形式及其变换形式共有六种：（1） y=ax2 （a≠0）；（2） y=ax2+k（a≠0）；（3） y=a（x+h）2（a≠0）；（4） y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5） y=ax2+bx+c（a≠0）；（6） y＝ax2＋bx（a≠0）。要求学生由不同的解析式画出图形示意图并说出对应的性质，有一定的难度。教学时，应层层递进，通过画示意图像来说性质。同时，在学习这六种形式的二次函数的关系式、图像和性质时，每节课都复习上节课学习的二次函数的关系式、图像和性质，并板书。这样，当学到最后一种二次函数的解析式、图像和性质时，学生已在头脑中形成了系统、全面的关于二次函数的解析式、图像、性质的知识网络。
　　
　　（二）策略分类，明晰掌握二次函数应用的方法
　　
　　二次函数是研究单变量最优化问题的常用数学模型。教材从数量关系入手，把实际问题数学化，进而求出最优解，研究了面积最大、利润最大等问题。然后，从“形”上研究了抛物线形的拱桥、抛物线形的隧道、喷泉、投掷、跳远、跨栏等与抛物线有关的问题。这样的分类（一会儿求关系式，一会儿不求；一会儿给应用问题，一会儿给图像），对正由形象思维向抽象思维过渡的初中生来说挑战不小，学生的思维容易发生混乱。教学二次函数的应用问题时，根据学生的年龄特点和知识基础，按解题策略进行分类，有助于学生理清思路，正确解决问题。
　　
　　第一类：给二次函数的关系式解决问题。比如，教材第33页第4题的“火箭升空”、第34页第9题的“对概念接受能力”、第35页第12题的“喷泉”等问题，只要将二次函数的关系式配方求定点坐标，或令x、y等于0，即可顺利解决。
　　
　　第二类：给应用问题列二次函数的关系式，再用关系式解决问题。比如，教材第25页的“最大收益”、“最大面积”等问题，只要分析数量关系，列出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式即可解决问题。
　　
　　第三类：给二次函数的图像列二次函数的关系式解决问题。比如，教材第27页的问题2“喷泉”问题，只要从图像上找到一个或两个点的坐标，代入二次函数的关系式的一般形式，从而求出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式，即可解决问题。
　　
　　第四类：建立直角坐标系，求出二次函数的关系式解决问题。比如，教材第28页的“抛物线形拱桥”、第30页的“栏杆”和“抛物线形拱桥”等问题。这样的问题，要建立适当的直角坐标系，再由图像求出二次函数关系式，然后由二次函数关系式即可解决问题。
　　
　　三、着手关键化解难点
　　
　　（一）将二次函数的一般形式化为顶点式
　　
　　学生对前四个形式的二次函数y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2（a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）画图像、说性质相对比较容易，对后两个形式的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），y＝ax2＋bx（a≠0）画图像、说性质，难度就大得多。因为要将它们转化为y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的问题。而配方又涉及完全平方公式——这在一元二次方程解法的教学时已有所涉猎。因此，教学一元二次方程解法时，就必须注重配方法的教学，到了这个阶段再增添求二次三项式的最值问题，学生因为掌握了配方的方法，就容易理解和接受了。
　　
　　（二）列二次函数关系式和应用二次函数关系式
　　
　　比如，最大效益问题是一元二次方程的利润类应用问题的迁移，关键是把握关系式“每亩（件、千克）效益（利润）×亩数（件数、千克数）=总效益（总利润）”；面积类问题，关键是面积公式；给二次函数图像列二次函数关系式解决问题，关键是设二次函数关系式；建立直角坐标系，求出二次函数关系式解决问题，关键是建立适当的直角坐标系、设二次函数关系式；应用二次函数关系式，关键是理解关系式中的字母的意义，看清问题中要求的是关系式中的哪一个问题，从而确定方法。
　　
　　参考文献：
　　
　　[1] 罗增儒。数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，1997
　　
　　[2] 李明振。数学方法与解题研究[M].上海：上海科技教育出版社，2000

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