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冗余度TT-VGT机器人的神经网络自适应控制
摘要：提出了采用神经网络进行模型参考自适应控制（MRAC）的方案，建立了自适应控制的状态模型，并推导出相应的自适应算法；最后对冗余度TT-VGT机器人自适应控制进行了仿真。关键词：冗余度 TT-VGT机器人 神经网络 模型参考自适应控制
TT-VGT（Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss）机器人是由多个四面体组成的变几何桁架机器人，图1所示为由N个四面体单元组成的冗余度TT-VGT机器人操作手，平面ABC为机器人的基础平台，基本单元中各杆之间由较铰连接，通过可伸缩构件li(i=1,2,…，n)的长度变化改变机构的构形。图2所示为其中的两个单元的TT-VGT机构，设平面ABC和平面BCD的夹角用中间变量qi(i=1,2,…,n)表示，qi与li(I=1,2,…，n)的关系如下[2]：
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式中，d表示TT-VGT中不可伸缩构件的长度，
li表示机器人可伸缩构件的长度。
TT-VGT机器人关节驱动力F与力矩τ的关系为：
F=Bττ (2)
式中，Bτ为对角矩阵，对角元素Bτi为：
1 状态模型
机器人的自适应控制是与机器人的动力学密切相关的。机器人的动力学方程的一般形式可如下表示（不考虑外力的作用）：
τ=D（q）q+C(q,q)q+G(q)q (4)
式中，D（q）∈R n×n为广义质量矩阵（惯性矩阵），
C（q,q）∈Rn×(n×n)为向心力及哥氏力作用的矩阵，
G（q）∈R n为重力矩阵，
τ∈R n表示机器人的驱动力矩。
对于TT-VGT机器人，用杆件变量li,ii,Li（i=1,2…，n）代替中间变量qi，qi，qi（i=1,2…，n）（见式（1）），则试（4）可表示为：
F=D（l）l+C（l,i）i+G(l)l (5)
式中，F∈Rn表示机器人的驱动力。
可把式（5）表示为下列状态方程：
x=A(x,t)x+B(x,t)F （7）
式中，
上述机器人动力学模型就是机器人自适应控制器的调节对象。
考虑到传动装置的动力学控制系统模型如
下式所示：
式中，u、l——传动装置的输入电压和位移矢量，
Ma、Ja、Ba——传动装置的驱动力矩比例系数、转动惯量和阻尼系数（对角矩阵）。
联立求解式（5）和式（9），并定义：
可求得机器人传动系统的时变非线性状态模型如下：
2 Lyapunov模式参考自适应控制器设计
定理 设系统的运动方程为：
e=Ae+Bφr （13）
φ=-RB T Per (14)
式中，e为n维向量，r为l维向量，A、B、φ分别为（n×n）、（n×m）、（m×l）维满秩矩阵，R与P分别为（m×m）、（n×n）维正定对称矩阵。
假若矩阵P满足Lyapunov方程：
PA+A TP=-Q （15）
式中，Q为（n×n）维正定对称矩阵。
同该系统的平衡点e，φ是稳定的。
如果向量r又是由l个或更多不同频率的分量所组成，那么该平衡点还是渐近稳定的。其证明可参看文献[4]。选择如下的稳定的线性定常系统为参考模型：
y=Amx+Bmr （16）
式中，y——参考模型状态矢量：
式中，∧1——含有ωi项的（n×n）对角矩阵，
∧2——含有2ξωi项的n×n对角矩阵。
式（18）表示n个含有指定参数ξ和ωi的去耦二除微分方程式：
yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r （19）
令控制器输入为：u=Kxx+Kur （20）
式中，Kx、Ku——可调反馈矩阵和前馈矩阵。
根据式（20）可得式（11）的闭环系统状态模型为：
x=As(x,t)x+Bs(x,t)u （21）
>
式中，As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx，Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku (22)
将式（12）代入式（22），可得：
适当地设计Kxi、Ku，能够使式（11）所示系统与式（16）所代表的参考模型完全匹配。
定义状态误差矢量为：
e=y-x （24）
则e=Ame+（Am-As）x+(Bm-Bs)r （25）
控制目标是为Kx和Ku找出一种调整算法，使得状态误差趋近于零，即：
对脚式（13）与式（14），选取正定Lyapunov函数V为：
式中，P——正定矩阵，
FA和FB——正定自适应增益矩阵。
对上式微分，得
根据Lyapunov稳定性理论，保证满足式（24）为稳定的充要条件是V为负定，由此可求得：
将式（22）求导并与式（30）联立求解，同时考虑到控制器稳定时式（11）所示系统与式（16）所代表的参考模型完全匹配，可得
由此已得到控制器的自适应控制律。
3 TT-VGT机器人的神经网络自适应控制
本文采用直接MRAC（模型参考自适应控制）神经网络控制器对TT-VGT机器人进行控制。在图3中，NNC（神经网络控制器）力图维持机器人输出与参考模型输出之差e（t）=l(t)-lm(t) →。即通过误差反传，并采用上节的自适应算法，调节NNC，使得其输出控制机器人运动到误差e(t)为0。
神经网络模型如图4所示。
4 实例分析
以四得四面体为例，如图5所示建立基础坐标系，末端参考点H位于末端平台EFG的中点。设参考点H在基础坐标系中，从点（0.8640，-0.6265，0.5005）直线运动到点（1.8725，0.5078，0.7981），只实现空间的位置，不实现姿态。运动的整个时间T设定5秒，运动轨迹分为等时间间隔的100个区间。不失一般性要求，末端在轨迹的前40个区间匀加速度运动（a=0.2578），中间20个工间匀速度运动，最后40个区间匀减速度运动（a=-0.2578），开始和结束时的末端
速度为。设各定长构件长度为1m，机构中各杆质量为1kg，并将质量向四面体各顶点对称简化。
传动装置的参数如下：
Ma=4.0×10e -3kg·m/V；Ba=0.01N·m/(rad·s -1)；
近似认为各关节电动机轴上的总转动惯量在运动过程中保持不变，其值分别为：
J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2；
J3=0.537kg·m2；J4=0.338kg·m2
末端位置误差曲线如图6所示。从误差曲线可看出，采用神经网络自适应控制的机器人位置控制精度较高，稳定性较好。
本文提出采用直接MRAC神经网络自适应器对机器人进行轨迹控制的方案；建立机器人状态模型，推导出自适应控制算法，并对冗余度TT-VGT机器人轨迹控制进行了仿真。结果表明，该方案控制误差较小，稳定性较好。
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