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数学模型在社会各领域中应用的教学研究
数学模型在社会各领域中应用的教学研究
王岳
（济南职业学院，山东济南250014）
摘要：现代社会中，数学模型已被广泛应用于社会各个领域的研究和发展中。因此，在高职数学的教学中，教师既要使学生掌握数学中的思想方法和理论知识，又要善于引导学生将实际问题转换为数学模型，提高学生建立数学模型解决问题的能力，为他们将来从事各种职业时应用数学模型打下良好基础。本文结合数学模型在各领域中的应用案例研究，提出在数学教学中应重视对高职生进行突出专业特色和职业特点的职业化教学。
关键词：数学模型；经济领域；军事领域；司法领域；电学领域
基金项目：济南职业学院2013年度教改立项课题“依托数学建模竞赛，促进高职数学教学改革”（编号：2013JG0334）
作者简介：王岳（1978-），女，山东济南人，硕士，研究方向：数学课程与教学论。
数学作为一种强有力的工具，已经被渗透到社会生活的各个领域中。数学模型已被广泛应用于社会各个领域的研究和发展中，为人们的日常生活、技术发展和科技进步做出越来越直接的贡献。
一、数学模型在经济领域中应用的教学研究
在经济领域中，数学模型无处不在，数学的应用理论和建模方法已渗透到经济领域的各方面。
案例1：【企业年度总成本预测】某企业生产一种设备，在2008年到2012年的五年内该设备的产量和成本分别为：2008年共生产10台设备，每台成本600元；2009年共生产40台设备，每台成本300元；2010年共生产30台设备，每台成本450元；2011年共生产20台设备，每台成本550元；2012年共生产50台设备，每台成本400元。若该企业计划该设备的年度产量为60台，试预测该企业的年度总成本。
数学模型：线性回归模型：解由题意得，确定了单位成本后，总成本y只受到产量x的影响，总成本y的线性函数可表示为y=a+bx（a，b为待定系数）。假设预测的总成本的数学模型为yi=a+bxi，要使yi与y最接近，根据最小二乘法，只要使它们所有误差的平方和Q为最小即可，对a，b分别求一阶偏导数，并令这两个偏导均为零，从而解出b=290，a=3800。从而得到预测的年度总成本函数为：y=2800+290x。因此，该企业计划年度生产60台设备时，预测年度总成本为：y=21200元。
由上述a，b的求解过程可以看出，任意给定一组数据（xi，yi），都可以推算出a，b，建立一元线性回归方程。因此为了把握预测的准确程度，我们还要对所求结论进行相关性检验，计算相关系数。设相关系数为r（-1≤r≤1），的绝对值越接近于1，说明x与y之间的线性关系越密切。r=1时，说明x与y之间完全正相关；r=-1时，说明x与y完全负相关；r=0时，说明x与y之间不存在任何联系。此题在预测分析中由于产量或成本均不会为负，因此只有r趋近于1时才有实际意义。利用相关系数的计算公式最终求得本例中r=0.9073，这说明该种设备的产量与设备总成本具有高度的正向相关性。因此，以上对该企业年度总成本的预测结果是可靠的。
实践证明，用数学模型对经济预测时所作的定性和定量分析是严谨的、缜密的、可信的。对财经类和经管类学生，案例的选择要更多地结合当今社会的经济发展背景，突出专业特色，使学生切实感受到数学的应用性和价值。
二、数学模型在军事领域中应用的教学研究
在军事方面，数学模型的应用越来越广泛，大大加快了军事科学的前进步伐。军事发展中逐渐形成的军事统计学、军事运筹学等都是在现代战争中取胜所必不可少的工具。数学模型在现代战争中的应用更是任何庞大、优良的军队也无法替代的。其中，概率统计模型在分析、制定作战方案方面就起到了重要作用。
案例2：【盟军运输船编队方案】在二战中，盟军为了和德军作战，其大批量的军用物品都要通过船队从大西洋运往各个战场。起初，负责运送军用物资的盟军船经常被德国潜艇袭击，损失十分惨重。针对德军的潜艇战，美军将领专程请来一位数学家出谋划策。数学家运用概率论分析后发现了规律，很快解决了问题。
数学模型：概率模型：解因为运输船队与敌军潜艇在运输海域中有可能相遇，也有可能不相遇，所以船队与敌军潜艇相遇是一个随机事件。如果我们从概率论的角度来看待这一问题，能发现一定的规律：对于一定数量的船只，编队的规模越小，船队的批次就越多，途中遭遇敌潜艇的可能性也就越大。因为敌潜艇的数量与船队的数量相比肯定是较少的，且潜艇所载弹药有限，因此每次袭击，不论船队规模多大，被击沉的数目应该大致相等。所以一旦船队与敌潜艇相遇，船队的规模越小，每艘船被击中的概率就越大。
假如盟军的运输船共有100只，若对所有运输船进行编队，按每队20只船，可编成5队；若按每队10只船，可编成10队。这两种编队方式与德军潜艇相遇的可能性之比为5∶10，即1∶2。假设每次德军潜艇击毁5只运输船，那么，上述两种编队方式中每艘船被击沉的可能性之比为5/20∶5/10=1∶2。从以上两方面分析来看，两种编队方式中每艘运输船与敌潜艇相遇并被击中的可能性之比为1∶4。这说明，对于100艘运输船，编成5队比编成10队的危险性小。即：船队规模越大，批次越少，被敌潜艇袭击的风险越小。
数学家用数学模型分析后给出了改进编队和运送方式的建议，盟军统帅依此建议，命令运输船不再由各个港口分散启航，而是让船队在指定海域集合后在护航舰护卫下集体通过危险海区，再分别驶向目标港口。船队调整后，很快盟军船队被德战舰击中的概率就由原来的25%锐减为1%，此举大大降低了盟军的损失，确保了军用物资的有效供应。美国军方因此大赞：一名优秀数学家的作用，超过十个师的兵力！
在很多军事院校，数学是一门重要课程，现代军事领域离不开数学的分析和辅助，特别是运筹学、微积分、概率统计等应用都十分广泛。教师在教学中可多选用以往战争中应用数学知识和思想方法来解决实际问题的军事案例。
三、数学模型在司法领域中应用的教学研究
“司法”在一般人看来是与数学没有太大关系的领域，但在司法界，数学模型的应用已经在案件侦破和司法鉴定过程中应用非常广泛，而且起到了至关重要的作用。
案例3：【刑事侦查中死亡时间的鉴定】牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦查中死亡时间的鉴定。在死者被谋杀后，尸体的温度将按照牛顿冷却定律从初始体温的37℃逐渐开始下降。
（1）假定所处环境中空气的温度为20℃不变，若两小时后尸体的温度降为35℃，试求尸体的温度H对于时间t的变化规律。
（2）若尸体在十六点整被发现，当时温度是30℃，试推算受害人被杀应发生在几点？
数学模型：常微分方程模型：解设尸体的温度为H（t）（t 从被杀时计），根据题意，尸体的冷却速度：dH/dt与尸体温度H和空气温度之差成正比。即：dH/dt=k（H-20），其中k是非零常数，初始条件为H（0）=37。对方程分离变量得：，两端积分得：ln（H-20）=kt+C1，求得方程通解为：H=20+Cekt（其中C=eC1）。
将初始条件H（0）=37代入通解，得C=17，因此满足条件的特解为H=20+17ekt。为确定k，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，代入有：35=20+17e2k，求得k≈-0.063，于是尸体的温度函数为：H=20+17e－0.063t。将H=30代入，则30=20+17e-0.063t，解得t≈8.4（h）。于是可以判定谋杀发生在尸体被发现时16点前的8.4小时，即在上午7点36分发生的。应用常微分方程模型，准确求出案发时间。
常微分方程模型可以解决和变化率相关的很多问题，是一种应用十分广泛的数学模型，教师在讲授微分方程这部分章节时，不仅要让学生掌握如何求解各类方程，更要让学生学会在具体问题的分析、解决过程中，把实际问题的描述抽象成数学语言，正确地建立数学模型，这是数学教学中我们要引导学生重点掌握的思想方法。
四、数学模型在电学领域中应用的教学研究
数学源于生活，又服务于生活。电学和数学的关系更是密不可分。三角函数、复数、向量、微积分、常微分方程、拉氏变换等数学工具都在电学里有着广泛应用。其中，微分模型是在电学中求特定物理量的最值时最有效的工具。
案例4：【最大输出功率】设在有一个负载电阻的闭合电路中，电源电动势为E，内阻为r（E，r均为常量），问负载电阻R多大时，输出功率P最大？
数学模型：微分模型：解消耗在电阻R上的功率为P=I2R，I为回路中的电流，由闭合电路欧姆定律知
电学领域是对数学知识需求较高的领域，数学在这类专业中的应用无处不在，学生必须具备良好的数学基础，掌握常用数学思想方法，才能更好地学习专业知识。作为给该专业授课的数学教师，不仅要具备较强的数学功底，更要学习和掌握一些电学领域的相关专业知识。只有成为双师型的数学教师才不会出现“重理论轻应用、不能完全满足专业需求”的情况。
由上述实例可以看出，让学生掌握数学建模思想，学会数学建模方法并应用于专业实践中，是今后教学改革的重点方向。当代高职生，在学习了多门数学课程后，要善于将数学理论与专业实践和生活实际紧密结合，发现身边的数学，在实践中学会建立数学模型，求解数学模型，培养创新思维，全面提高数学应用能力。
参考文献：
[1]任晓燕，王岳。 工程应用数学[M].北京师范大学出版社，2012.
[2]李艳。数学模型在经济学中的相关应用分析[J].商业时代，2012，（6 ）。
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