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往复曲线运动中自然坐标系的应用
往复曲线运动中自然坐标系的应用
严非男，陈俊，皇甫泉生
（上海理工大学理学院，上海200093）
摘要：本文分析了往复曲线运动（以单摆为例）中自然坐标系单位矢量正方向的选取，给出了弧坐标的定义，使单摆小球的切向动力学方程得到了统一的表示，并使角位移θ与弧坐标s的正负规定相一致，解决了学生学习中的困惑。
关键词：自然坐标系；单位矢量；单摆
多年来，对于自然坐标系中单位矢量的规定，人们不断探讨，提出了各种规则[1-3]，在不同场合的应用中各有利弊[4-6]。往复曲线运动，是理工科高校大学物理教学中常见的一种质点运动的方式，因为其轨迹已知，此时采用自然坐标系分析质点的运动比较方便。按照普通物理教材[2]中自然坐标系切向单位矢量的规定（与质点速度方向同向），分析单向的曲线运动时，图像非常清晰，学生易于理解和接受。但是，笔者在教学实践中发现，分析往复曲线运动（例如，单摆运动）时，不少学生往往对切向合力的正负心存疑惑，不甚理解。本文认为，在这种情况下，根据文献[1]中的规则，并进一步明确弧坐标的定义以及速度和加速度的表达式，可以使切向动力学方程得到统一的表示，较好地解决学生的困惑，同时加深学生对自然坐标系的认识。
一、问题的提出
以单摆为例。如图1所示，设l为摆线的长度，m为小球的质量。小球在重力和绳子拉力的作用下，做小角度往复圆弧运动。摆线竖直位置为系统的平衡位置，由此起算，规定逆时针方向的角位移θ为正，反之为负[7]。在自然坐标系中，重力的切向分量与θ反向，根据牛顿运动定律得：
当θ很小时，sinθ≈θ，所以
这是一个典型的简谐振动方程，其振动表达式为
式中θm为角振幅，为初相位，它们由初始条件决定；
为振动的圆频率。因此，单摆在摆角很小时，做角谐振动。
在上述推算中，方程（1）中切向力前面的负号是关键所在，但是学生也往往就对这个负号感到困惑。按照教材
上的规定[2]，自然
二、自然坐标系中单位矢量的取向，弧坐标的定义、速度和加速度的表达式
本文认为，根据文献[1]中的规则，并进一步明确弧坐标的定义以及速度和加速度的表达式，可以使得方程（1）普遍成立，并使方程（1）中θ的正负与弧坐标s的正负规定相一致，从而较好地解决学生的困惑。
依据文献[1]，自然坐标系的法向单位矢量
指向曲线的凹侧，切向单位矢量
逆时针转动π/2与重合，如图3所示。也就是说， 的方向不必随着小球的运动不断地变换。
以轨迹上的平衡位置O点作为参考点，小球在轨迹上的位置用O点至小球所在点的弧长s来确定，s称为弧坐标，为代数量，规定为与同方向一侧为正值，与反方向一侧为负值。显然，s=lθ （4）
因此，s和θ的正负值的规定是相一致的，不会产生矛盾。由平衡位置起算，逆时针方向的角位移θ为正，此时，s也为正；反之，两者都为负值。
三、单摆切向动力学方程的普遍性
按照上述的取向规定和弧坐标的定义，再来分段讨论单摆的切向动力学方程，将发现方程（1）是普遍成立的。
四、结论
本文分析了往复曲线运动（以单摆为例）中自然坐标系单位矢量正方向的选取，并进一步给出了弧坐标的定义，使单摆小球的切向动力学方程得到了统一的表示，并使角位移θ的正负与弧坐标s的正负规定相一致，较好地解决了学生的困惑，加深了学生对自然坐标系的认识和理解。
参考文献：
[1]马长占。对《自然坐标系中的符号规则》一文的异议[J].大学物理，1988，（5）：9-11.
[2]程守洙，江之永。普通物理学上册[M].第六版。北京：高等教育出版社，2006：14-16.
[3]周衍柏。理论力学教程[M].第3版。北京：高等教育出版社，2009：80.
[4]陈洛恩，陈时锦，杨红，李梅。自然坐标系浅析[J].云南师范大学学报（自然科学版），1999，19（5）：73-76.
[5]马淑红，王天兴，焦照勇。坐标轴正方向选取对力学问题求解的影响[J].高师理科学刊，2014，34（3）：62-65.
[6]尹海峰，曾春花，岳莉，陈广萍。自然坐标系单位矢量的新认识[J].铜仁学院学报，2014，16（4）：138-140.
[7]程守洙，江之永。普通物理学下册[M].第六版。北京：高等教育出版社，2006：10-11.
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