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培养和提高小学生数学能力的实验研究
提要 数学能力在学生的生活、学习和工作中占有很重要的地位。根据影响数学能力结构的几个因素选编 训练题，以小学一年级的学生做实验对象，本文得出三点启示。关键词 数学能力 能力结构 迁移
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一、实验目的、任务
培养学生的能力、发展学生的智力是广大教育工作者和教育研究者极为关注的问题。而学生的数学能力在 学生的生活、学习和工作中占有很重要的地位。所以，我们更要重视数学能力的培养和提高。
什么是数学能力？认知发展理论、心理计量学以及认知心理学都进行过大量研究，但并无统一定论。近代 心理学家们比较一致的看法是：数学能力是一种特殊的能力并具有一个复杂的结构。西方心理学家们认为一般 智力因素、数因素和推理因素在数学能力结构中占有重要位置。苏联心理学家克鲁切茨基认为，对数学材料及 其关系的概括能力是数学能力的核心。我们对数学能力结构的认识是以中央教科所在全国组织的小学生数学能 力研究的理论为依据的。
中央教科所曾在１９８２至１９８９年组织全国九个地区，对小学１－６年级学生的数学能力进行了追踪 测查与评价。研究认为：小学生的数学能力，主要是形成和运用抽象的数学概念的能力。在数学能力结构中起 主导作用的因素是对数量关系和其它数学材料的概括能力以及同这种概括有直接关系的可逆思考和函数思考能 力，同时也包括对数学材料的感知和空间关系的想象能力。为提高小学生数学能力，我们试图把全国对小学生 测查与评价的研究结果在小学实际教学中发挥一定效益，根据上述数学能力结构的几个方面，我们编制了系列 训练题，结合小学数学的教学实际进行实验，以期找到提高小学生数学能力的正确途径，并给教学工作提供一 些有参考价值的材料。
二、实验材料和实验对象
实验材料：根据影响数学能力结构的几个因素，选编训练题。我们共选编了１０套训练题，２套测验题。
实验对象：是范西路小学刚入学的一年级学生，实验班由教务处随机指定（共７０人，男３７人，女３３ 人），另两个班为对比班（分别为６８人和６９人）。
三、实验方法
学生的数学能力主要是在学习和掌握数学知识和技能的过程中提高和发展的，同时也是在掌握和运用数学 知识的过程中表现出来的。本实验配合学生数学知识学习的不同阶段进行。具体是每星期训练一次，一次一个 小时，期中进行一次比较性的测验，后半学期改为每两周训练一次，期末进行一次比较性的测验。
四、实验结果
（一）期中进行的比较性测验的结果
表１ 实验班与对比班（１）期中成绩及差异
（附图 {图}）
表２ 实验班与对比班（２）期中成绩及差异考验
（附图 {图}）
由表１、表２可以看出，经过５周的训练，实验班的成绩均明显高于对比班。
（二）学期结束时进行的比较性测验的结果
表３ 实验班与对比班（１）期末成绩及差异考验
（附图 {图}）
表４ 实验班与对比班（２）期末成绩及差异考验
（附图 {图}）
由表３和表４可以看出，实验班的成绩显著优于对比班。
（三）实验班期中与期末成绩比较
从图１中可以看出实验班学生的成绩，整体有很大的提高，尤其中上的学生人数，由期中时３３．３％提 高到期末的４２．９％，而中下和差等生比例期末比期中分别降低６．４％和１．６％。
（四）实验班男、女学生期末成绩及差异考验
（附图 {图}）
由此可以看出，男、女学生成绩并无显著差异
（附图 {图}）
图１ 期中与期末成绩五级分配百分比
五、讨论
（一）实验班与对比班共三个班，三个班学生上过育红班的比率、男女学生数以及独生与非独生子女数等 因素都相差不多，所以我们认为训练前实验班与两个对比班的基础是相同的。由实验结果可以看出，经过能力 训练的实验班成绩显著高于对比班，说明实验班学生数学能力得到了提高，也说明根据教学进度，采取定期训 练的方法是可行的。
（二）从实验班期中与期末成绩五级分配的百分比可以看出，学生成绩普遍有所提高，特别是中等学生比 率增加较大，表明了小学生数学能力不断发生变化、不断提高的一般发展趋势，也说明我们这种训练可以加速 学生的发展，尤其是对有一定发展潜力的中等学生有更大的促进作用。
（三）从整体看，女生平均成绩略高于男生，但未达到显著性的差异，说明小学一年级的数学能力不以男 、女性别为转移。
（四）在训练过程中，我们遵循从易到难的原则安排各项训练题目，在掌握和运用数概念的水平上，具体 通过对应、守恒、分类、分组数数、数的分解与组合等项目进行训练；在数的概括与推理能力上，具体通过数 的推理、序数以及数量之间的关系概括等项目来训练；在空间知觉和空间观念上，考虑到小学低年级儿童的思 维特点，只进行了初步的三维空间观念的训练。这些项目的训练都是相互联系、互相补充而不是孤立进行的。 例如：在分类项目的训练中，同时也训练了对数量和数学材料的比较与概括能力。通过以上这些内容的训练， 我们对小学一年级数学能力各方面的发展水平有了较明确的认识：
; １、对应是数学中一个重要的思维方法。对应的过程是整数结构的基础，是进一步学习求差问题的基础， 同时也是函数概念的基础。训练中我们发现小学一年级大部分学生能基本掌握对应观念，他们在解决比较简单 的、直观性较强的题目时，完成比较好。如：在完成一对一的对应题目时，通过率为９３．６％，在完成一对 二的对应题目时，通过率为７８．６％。但对比较复杂需要应用对应知识解决实际问题的题目，有许多人发生 了困难。如：“下图有２４个三角，你能很快说出有多少个吗？”
（附图 {图}）
训练前，通过率为５４．９％，学生的困难在于他们虽有了一定的对应观念，但还不能实际地运用，认识 不到各图形间的关系。所有不能解答这个问题的学生的共同特点是，总是试图通过数数来解决问题。这说明小 学一年级学生还保留着学龄前期的直觉行动思维的特点。但经过几次训练之后，对于同等难度的题目通过率上 升为６７．６％。这说明虽然低年级学生思维直观性较强，但教师有意识地培养训练学生的抽象概括、灵活运 用知识的能力，还是能发挥学生的潜力的。
２、守恒是指改变一个物体的物理性质－－改变其形状、长度、方向和位置，并不改变其原有的总量。守 恒是随着可逆性概念的发展而来的。按照皮亚杰的理论，小学一年级学生正处于思维发展的具体运算的开始阶 段，他们已具有进行更高级的构造型数学活动的准备性，但还没有达到守恒性。我们的训练证实了这一点，训 练开始时学生对数量守恒、重量守恒、液体守恒、面积守恒的通过率分别为４７．１％、５８．３％、５２． ４％、５４．３％，都只有一半左右的同学具有一定的守恒性。所有不能完成题目的学生，他们都不能根据物 体的各种属性的关系来分辩物体的不变性，如：高、矮和宽、窄之间的抽象关系，他们的思维受物体的空间排 列和形体变化的影响。但经过训练后，学生对各种守恒基本上都能掌握，通过率在７５％－８４％之间，说明 小学一年级儿童已具有一定的学习准备性，可利用适当的教学内容与方法使这种准备性成为现实。
３、分类。学生对于有明确的分类标准的题目及单因素特征的题目掌握较好，训练前通过率分别是７６． ８％和７１．６％。经过训练后，同等难度的题目８０％以上的学生均能掌握，说明一年级学生部分与整体及 有关的概括能力在适宜的教学条件下可以得到一定发展。但对于自定分类标准和多因素特征分类的题目，学生 掌握得很差，训练前通过率仅为４．５％，大部分学生对这种类型的题目无从下手，有一部分学生只能按一种 标准进行分类。通过训练，同类型题目通过率上升为２４．４％，这说明小学一年级学生思维主要以直观思维 为主，自定标准分类要求学生有较强的独立工作能力，尤其多因素的分类，涉及到同时既是一种属性的全部， 又是另一种属性的一部分的部分与整体关系，这要求学生能理解全类中的一小类与全类的大小关系即解决分类 包含的问题，也要理解一事物具有几种属性和不同事物具有同一属性的逻辑关系，从多因素的分析中解决分类 问题。这种对数学材料的较高水平的概括不是一年级学生所能解决的。这个结果提醒我们，数学教学要适合儿 童的思维特点，不能单纯求快求难，超出儿童的认知发展水平。
４、数概念是集合数（基数）和顺序数（序数）两者的结合，学生要理解和运用数概念，需要在序列化的 集合中把握数的概念。一年级学生对序数已初步掌握，对单纯的序数题，通过率为８３％，对复杂一些的基、 序数混合题通过率仅为４８．３％。许多学生在回答这种类型的题目时，往往弄不清什么是基数，什么是序数 ，以致把题做错，说明学生对基、序数概念的掌握还不是很牢固。经过讲解、训练，大部分学生对这类题目都 能完成。但对运用基、序数知识解决实际问题的题目，完成得很差。如：“小朋友排成一队，从前面数林林排 第８名，从后面数林林排第７名，问这队小朋友共有多少人？”此题通过率仅为１４．１％，没有答对的学生 遇到此种类型的题目，往往将８与７进行相加，而没有考虑到序列的排列，将结果减１。而在做“小朋友排成 一队，林林前面有７个人，后有８个人，问这队小朋友共几人？”题目时，没有考虑到这是个基数问题，在计 算时结果忘记加１。这些结果说明，小学一年级只有少部分学生具有对基、序数关系的概括运用能力。
５、数概念形成的最重要标志是：能明确地把握住数群结构，自由地进行分解组合。小学一年级学生对１ ０以内数的分解组合已经基本掌握，对于与书上形式一样的题目，通过率可达９５．７％，但他们使用数的分 解组合的知识解决实际问题的能力却很差，如“有１２个小朋友排成两队，如果一队有１人，那么另一队有１ １人，想一想，这些小朋友共有几种排法？”
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如果一队有→１……………………
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那么别一队有→１１……………………
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这道题的通过率只有５．１％，说明小学一年级学生对数概念的理解深度和概括化程度还很低，对于那些 需要重新组织自己的已有知识经验，具有较大的思维灵活性和创造性的题目，还不能顺利解决，经训练后通过 率则上升为３７．８％。这个结果说明，只要我们抓住数概念的基本内容，在教学中注意与实际问题相结合， 引导学生运用已有知识，他们的成绩会有显著的进步。
６、对数量关系及其它数学材料的概括与推理能力，是数学能力结构中起主导作用的因素，也是学生掌握 和运用数概念所必需具备的最基本的能力。从训练中我们可以看到，小学一年级学生对具体事物的概括以及数 列间异同的概括能力较好，通过率在８０％以上，说明大部分同学已具有一定的概括能力。
推理题目类型有形象的图形推理、抽象的文字推理以及数列推理，通过训练发现，小学一年级学生总体来 讲，推理能力较差，而相对这三种形式的推理情况来看，形象的图形推理最好，数列推理次之，文字推理最差 。如：
（附图 {图}）
通过图形表示出来，通过率为３５．９４％，而相似的题目用文字表示出来，通过率仅为１９．１％，这 说明直观形象的推理早于抽象的推理。
７、对空间关系的知觉能力，也是数学能力的主要因素之一。学生们对一维（线段图）、二维（平面图） 空间的题目回答较好，对于三维空间题目回答较差，如：
有２０％的学生能正确回答出１０块，说明这部分学生已基本具有一定的“体”的概念，有立体空间表象 ，能够从三维空间角度来辩别当前对象，而大部分学生只是试图从三维空间角度来识别对象，他们的空间表象 还受当前视野范围内所见到的“面”的限制，不能发现图中被完全遮蔽的３块立方，所以他们大都回答为７块 ，有的学生甚至把“面”当“体”，不区分维度，回答为１７块。这说明刚入学的儿童仍明显地保留着幼儿阶 段的三维空间的知觉特点。
六、对教学工作的建议
通过以上的数学训练实验，我们对刚入学的小学一年级学生的数学能力的发展水平有一个初步认识，对此 我们也得到一些启示，这可以作为数学教学中的参考：
（附图 {图}）
１、数学能力结构诸因素的发展客观上存在不平衡性，数学能力的培养及数学教学应遵循儿童心理发展中 所存在的这种客观性。总的讲，小学时期儿童数学能力不断地发生变化，不断地提高水平，这是儿童发展的一 般趋势，但具体到数学能力各因素的时候，这个一般趋势又表现出很大的不平衡，这在小学一年级学生数学能 力发展中就显著地体现出来了。如：对应关系、守恒、分类整理（子集与全集的关系）以及单纯序列等经过一 定的训练，学生成绩提高很快。而可逆运算、函数思考、对数字和数学材料的概括能力以及空间想象力等，即 使经过多次训练，学生成绩提高也很困难，这说明数学能力结构各因素的发展是不同步的。我们的教学必须针 对学生必理发展特点进行，一切落后或逾越儿童心理发展水平的教学都将获益甚微，事倍功半，甚至会阻碍学 生智力的发展。
２、迁移和培养。从训练来看，凡能将课堂所掌握的知识、运算技能迁移到同类的以不同形式出现的题目 上去，成绩就高，反之就低。由此可见，培养学生迁移能力是至关重要的。培养学生迁移能力，首先要注意使 学生牢固地掌握数学的基本知识和技能，这是迁移的前提与基础。其次要努力提高学生对数学问题的分析、概 括能力，这是迁移的关键。迁移从本质上讲就是概括，学生之所以能解决新的数学问题，就是因为学生能把当 前遇到的新课题纳入到已有的相应数学知识结构中，并从中找到与新课题的共同点，发现新课题的本质，从而 提取出原有的知识去解决当前的具体问题。所以，发展学生的分析、概括能力是迁移的关键，如果从低年级就 开始注意这个问题，那么在六年的学习中，学习的数学能力会有一个长足的发展。
３、了解学生的“最近发展区”，促进数学能力的发展。教学应走在发展的前面，而不应落在发展的后面 。维果茨基把儿童发展划分为两个水平：第一种水平是儿童现有发展水平，表现为儿童能独立地解决问题，独 立地学得知识；第二种水平是儿童尚处在形成状态，在发展过程中，表现为儿童还不能独立地解决问题，独立 地获得知识，需要成人的帮助，这就是儿童的“最近发展区”。教育者应着眼于儿童的“最近发展区”。“最 近发展区”决定着教学的可能性和教学的最高阈限，所以，了解教学对象的总体“最近发展区”及每个学生的 “最近发展区”，使我们的教学走在发展的前面，那么，学生的数学能力将会得到最充分的发展，这也是我们 进行数学能力训练的目的。
（曹启刚、苗学宜老师对于我们的实验研究给予了许多具体指导，杜玉凤、龚容老师在统计上做了大量工 作，同时也得到范西路小学领导及老师们的支持与合作，在此我们一并致谢）
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