数学课让静止的图形动起来

数学课让静止的图形动起来

——六年级数学活动课纪实
    （北京市顺义县第二教师进修学校 周爱东 贾福禄 设计
    北京市顺义县马坡中心小学 献臣 执教）
    教学内容 几何图形的面积计算
    教学目标
    1.培养学生的观察力、想象力，使学生有意识地把题目的条件看活，用动态的观点解答几何图形的题目。
    2.渗透“事物之间是互相联系的，可以互相转化”的观点。
    教学过程
    一、出示准备题
    用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形的地面，两条对角线上铺黑的，其它地方铺白色的，如图所示。如 果铺满这块地面共用101 块黑色的瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
    （附图 {图}）
    1.学生读题、提出问题、弄清题意。
    2.师：这是以前我们研究过的一个问题，请大家回想一下，当时我们是用什么方法来研究解答这个问题的 ？
    生：我们是在一个5×5的网格内，沿两条对角线方向摆放硬币，用硬币代表黑色瓷砖。再通过旋转、平移 的方法，改变硬币的摆放位置，从中发现规律，来解答这个问题的。
    3.生：独立操作，解答问题。
    ①操作：
    （附图 {图}）
    ②指名说操作过程。
    先在两条对角线上放满硬币（如图1）共放了9枚硬币；然后旋转每条对角线上的硬币，使其进入到5×5网 格中的行与列中（如图2）， 在旋转过程中，硬币的摆放位置发生了改变，但是枚数没有变；最后再将硬币平 移到两条边上（如图3）。 此时没有摆放硬币的小格由原来的被分成四块，而合并成了一块，且恰好组成了一 个正方形，其边长恰好与原来大正方形的边长相差1。
    ③解答准备题：
    同样道理我们可以通过旋转、平移两次动态处理，把题中两条对角线上的黑色瓷砖移到两条边上（如图） 。在这一转化过程中瓷砖的摆放位置发生了变化，但数量都没有变。此时便容易求解：
    （附图 {图}）
    （101＋1）÷2＝51（大正方形每边瓷砖数）
    51－1＝50（白色正方形每边瓷砖数）
    50[2]＝2500（块）
    答：白色瓷砖共用了2500块。
    4.教师小结导入新课：
    刚才，我们在研究这个问题时，是通过旋转和平移把对角线上的瓷砖移到了边上，也就是把题目的条件看 活了。用动态的思维来考虑问题，这种动态解答问题的方法，在解答几何图形题时是常常用到的。今天，我们 就用动态考虑问题的方法，来研究几道几何图形的问题（板书课题：让静止的图形动起来）。
    二、新授
    3
    （二）1.例1 图中三角形AED的面积占梯形ABCD面积的─，且AB
    7
    ＝5cm、BC＝8cm，求三角形AED的面积？
    （附图 {图}）
    ①指名读题。
  &n

bsp; 3
    ②简要分析：三角形AED的面积占梯形ABCD面积的─，也可以理解
    7
    梯形ABCD面积是7份，三角形AED面积占3份， 两个空白三角形面积的和占4份，AB是梯形和三角形的高，要 求三角形AED的面积，知道了高，需要先求出底AD的长。
    空白面积：三角形面积＝4∶3
    ③引导解答
    师：在梯形ABCD中，你能否画出一个与AED面积相等的三角形来？这样的三角形可以画出多少个？
    让学生独立思考，使他们体会到这样的三角形可以画出无数个，只要在BC边上任取一点，和AD连起来所构 成的三角形就知道和AED 的面积相等，因为它们是同底等高的三角形。
    师：通过上述分析，我们就可以把E点理解成为一个“动点”， 它可以沿BC边来回移动。在移的过程中三 角形AED的形状发生了变化， 但面积不变。那么大家想一想，我们把点移到哪里，图形就更简单，题目就更容 易解答呢？
    （附图 {图}）
    生：将E点移到B或C点处。
    师：画出E点移到C点时的图形（见右图）并提问题：三角形ABC 的面积与原来两个空白三角形面积是否相 等？为什么？
    生：相等。因为移动E点的过程中，梯形面积没有变， 阴影三角形AED的面积也没有变，所以三角形ABC的 面积与原来两个空白三角形面积的和相等。
    生解答：
    方法1 阴影部分与空白部分的面积分别是3份和4份， 它们的高相
    8×3
    等，所以底是3份BC就是4份，因为BC＝8cm，所以AD＝─＝6cm， 三角
    4
    形AED的面积是：6×5÷2＝15（cm[2]）。
    1 3 3
    方法2 8×5×─÷（1－─）×─＝15（cm[2]）
    2 7 7
    师小结：这道题，我们除了把E点移到B点或C点， 还可以移到一个特殊的点上，来解答，而且也可以通过 添加辅助线的方法求解，这些解法留给大家在课下进行研究。
    在解答这道题的过程中，我们通过点的移动，寻找到了解题的突破口，可见这种“动态考虑问题”的思想 可以使解题的方法更灵活，更巧妙。这种解题思路还有更广泛的应用呢，下面我们来看例2。
    例2 有红黄绿三块大小一样的正方形纸片， 放在一个盒内它们之间相互叠合（如图，教师备有教具）已 知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，那么正方形盒的面积是多少？
    ①指名读题
    ②启发、引导
    师：三张纸片大小一样，但它们露出的面积却不同，这是为什么？
    生：三张纸片放入正方形盒内，要互相叠合，由于放置顺序不同，露出的面积就不同。
    师：谁能说一说这三张纸的放置顺序。
    生：先放绿色的、再放黄色的，最后放红色的。
    师：现在黄色、绿色纸片露出的部分都不是长方形，你能不能通过改变放置顺序，使它们露出的部分变成 长方形。
 &n

bsp;  生：先放黄色纸片再放绿色的，最后放红色的。（在学生说的同时，教师直观演示将黄色纸片抽出，露出 绿色长方形，然后再把黄色纸片插入绿色纸片下面，将图1变成了图2）
    （附图 {图}）
    师：现在黄色、绿色纸片露出的部分都变成了长方形，请你比较它们的面积是否相等？分别是多长？
    生：面积相等。因为它们的长相等，宽都等于正方形盒的边长减去小正方形纸片的边长也相等，所以面积 相等。它们的面积和没有变。各自的面积分别是（14＋10）÷2＝12
    师：请大家认真观察，现在这三张纸片，哪个位置特殊？能否改变它的位置？
    生：黄色纸片的位置特殊。因为红色和绿色纸片都有两条边和正方形纸盒的边重合，而黄色纸片只有一条 边与纸盒的边重合。我们可以使黄色纸片向左移动，使它也有两条边与纸盒的边重合。（师演示移动，得出图 3。此时问题已转化成了学生以前所研究过的问题， 根据三个长方形面积间的倍数关系可推出边长的份数关系 ，便可顺利求解。
    3
    20＋12×2＋12×─＝51.2
    5
    5[2] 64
    或20÷─────＝20×─＝51.2
    （5＋3）[2] 25
    所以正方形纸盒的面积是51.2。
    师：刚才我们解答问题实际上是走了弯路请大家（对照图1和图3，想一想还可以怎样将图1转化成图3？）
    （附图 {图}）
    生：直接向左移动黄色纸片。
    师：直观演示向左移动黄色纸片，并提出问题：请观察黄色和绿色露出的部分面积各发生了什么变化？
    使学生体会到：黄色纸片的面积在减少，绿色纸片的面积在增加，它们的面积和不变。
    3.教师小结。
    投影出示上述两道例题的原图与转化后的图的对比图。（已脱离了实际数据）
    （附图 {图}）
    今天我们所研究的两个问题，都需要把题目的条件看活，将原题转化后再求解。例1是通过点的移动， 将 原来分着的空白三角形合并成了一个三角形。例2是通过面的平移，把复杂的图形变成了简单图形， 把原来面 积不等变成了相等。这种“动态考虑问题”的思想可以使我们解题的思路更快捷，解题的方法更灵巧所以希望 同学们今后能自觉运用这种动态思想来解答问题。
    三、练习
    已知长方形的长是8cm，宽是4cm，图中阴影面积是10cm[2]， 求CD长多少厘米？ 

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