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《探索勾股定理》教学设计(精选11篇)
作为一位优秀的人民教师,就有可能用到教学设计,教学设计以计划和布局安排的形式,对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策,以解决怎样教的问题。那么教学设计应该怎么写才合适呢?下面是小编整理的《探索勾股定理》教学设计,欢迎大家分享。
《探索勾股定理》教学设计 篇1
一、教材分析
勾股定理历史悠久,是初中数学中非常重要的一个结论,称为"几何学的基石",在数学学习中有重要的地位。它是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征,学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要,也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础。因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。
二、学情分析:
八年级学生已经学习了三角形的一些基本知识;也经历过利用图形面积来探求数学公式过程。如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。本节课在学生这些原有的认知水平基础上,探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链,使学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。
但是这个年龄的孩子的思维偏重于直观。而勾股定理的探究方法虽然很多,但对于八年级的学生,如果直接让探究直角三角形三边之间的关系,学生大多会思考三边之间的一次关系,而较难想到三边之间的平方关系,可能会陷入较长时间的困惑,而且没有教师的指引可能最终都不能走到正确道路上来,为此,从特殊的等腰直角三角形入手,提出问题,课堂中,注重学生的动手操,引导学生从具体到一般,层层递进,引导学生亲历定理的产生和验证过程,作为以后相关知识的继续学习奠定良好的基础。
让学生经历勾股定理的探究过程,进一步丰富学生的数学活动经验,发展学生的推理能力,以及分析问题、解决问题的能力,同时感受勾股定理的文化价值。
三、教学目标:
1、让学生亲历"发现问题—提出问题—一解决问题"、从"特殊到一般"的过程,体会类比、转化、数形结合的数学思想和方法。
2、让学生经历实践操作、计算分析、拼图实验的过程,在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯;让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长,通过解决问题增强自信心,激发学习数学的兴趣;通过老师的介绍,感受勾股定理的文化价值。
3、能说出勾股定理,并能用勾股定理解决简单问题
四、教学重点:勾股定理的探索过程和简单的应用
五、教学难点:勾股定理的探索过程
六、教学方法:小组合作、教师点拨
七、 教学资源:教材、多媒体
八、 教学准备:已剪好的若干个边长为整数的直角三角形、方格纸 、几何画板课件
九、教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、发现问题
老师:同学们,我们在七年级已经学习过三角形的一些基本知识,我们也了解了一些特殊的三角形,你知道的特殊的三角形有哪些?
对于等腰三角形和等边三角形你知道些什么?直角三角形呢?边与边的关系呢?(课件出示)
老师提出问题,学生独立思考,同桌两人交流讨论,再由代表公布。
这是对特殊的两类三角形的回顾,从学生从原有的认知水平出发,揭示这节课产生的根源,符合学生的认知心理,也自然地引出本节课的目标。
二、提出问题
Rt△ABC中,∠C=90°,请问:边a、b、c之间有何关系? 该如何研究?
(教师板书今天的研究目的)
提出问题,学生思考,该如何研究呢?测量?还是其他方法呢?
以问题串的形式,引发学生思考,测量后学生不能发现规律,进而引出研究问题的方法:可以从简单的特殊的入手。
三、如何解决
三、如何解决
三、如何解决
1、特殊入手——简单的.
问题1.已知Rt△ABC,∠C=90°
若 a=b=1,你能写出含c的等式吗?
若 a=b=2,你能写出含c的等式吗?
若 a=1, b=2呢?
思考:
(1)(2)的条件有什么共同点?(3)的条件与(1)(2)有什么区别?
(1)(2)的结果有什么共同点?c2=2,c2=8能让我们想起什么?
学生难以得出时,老师给予适当的提示,可以从面积入手。
学生思考,并畅所欲言。
学生不难得出平方和正方形的面积有关系,所以引导学生利用面积来探求关系。
当老师拥有完美的方法解决问题的时候,学生好奇的不仅是老师解决问题的方法,学生更加关心的是老师是如何想到这一方法的,从特殊的简单的入手,是学生容易接受的。
让学生体会到当一般性的问题不好解决时,可以先将一般问题转化为特殊问题来研究。
从学生认知基础、已有的学习经验出发,将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系,让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生,增强探索问题的信心和欲望。
2、分析方法
问题: 如何验证以c为边长的正方形的面积是否为2 ?
方法2.用网格1帮助
你能用上述方法验证问题(2)的结论吗?
思考:你有哪些方法知道正方形的面积为8?
问题:你能用上述方法帮助解决问题(3)吗?
思考:你有哪些方法知道正方形的面积为5?
教师引导,学生观察不难得出。
类比边长为1的等腰直角三角形在网格中得出斜边的平方为2的方法,学生不难想到在方格纸中利用面积得到。
当学生在方格纸上画出这个正方形后,采用补、拼、割的办法得出。
对于问题(3),当学生在方格纸上画出这个正方形后,让学生小组讨论交流,选代表发言。学生类比前面方法,采用割或者补的办法得出。
引导学生求这个正方形面积的方法可以又多种,拓展学生的思维。
让学生在问题(1)的启发下,得出方法,自己动手实践,体会成功的喜悦,激发内驱力。
展示学生的方法:割的方法,补的方法,平移的方法,旋转的方法,(旋转的方法是正确的,但是它只适应于斜边是整数的情况,况且学生在此时还不会计算斜边的长,因此这种方法没有一般性,如果学生有提到,教师应予以解释。)肯定学生的研究成果,进而让学生进行总结,把图形进行割和补,即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化为可以利用网格线直接计算面积的图形。让学生体会数学的转化思想。
3、应用方法
问题1.(4)若a=2,b=3.你能求c2吗?
思考:你有哪些方法知道正方形的面积为13?
让学生自己在方格纸上画出直角边分别为2和3的直角三角形,类比前面的方法,得出c的平方。
通过此活动锻炼了学生动手能力,体现了活动数学的思想。同时也是对割、补方法计算正方形面积做了加深理解。
4、 观察归纳
问题2. 梳理上述四个问题的边长,并思考a、b、c之间有什么联系?
5、。验证结论
问题3.(1)在网格中能验证a2+b2=c2吗?
活动:在网格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形,并分别以这个直角三角形的各边为边向外做出三个正方形,求出此时三个正方形的面积。
学生通过观察表格,初步得出猜想:a2+b2=c2
学生活动时,教师要积极的参与到学生活动中去,其中以斜边为边向外作正方形时,另两个顶点位置的确定是这一活动的难点,教师巡视是如果有学生在这两处存在问题的话,教师就以中国象棋马走日,连续走四次所形成的线路图给学生启发。
梳理四个问题,学生归纳总结,得出猜想,让学生初步得到直角三角形三边之间的关系猜想,为进一步的探索明确方向。
此活动是一个学生全面经历探究的过程,也是割和补的方法的再次应用,让全体学生再次感受转化思想,体验成功的乐趣。此时要给学生充分的时间,相信在同学们计算中学生会得到更多的一般情形,由此为归纳定理奠定基础。这样归纳的结果也更具一般性,学生们的印象也更加深刻。
让学生体会到更多的特殊情形,从而为归纳提供基础,这样归纳的结论更具有一般性,学生的印象也更深刻。
6、。结论一般化
(1)通过以上的实验、操作、计算,我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢?同学们还有什么疑问吗?
(2)网格有局限性,对于非整数边长的直角三角形,结论是否成立?
a、插入几何画板:
提问:在老师拖动的过程中,仔细观察,变化的是什么?不变的是什么?
b、学生拿出四个全等的直角三角形拼图。
学生留下思考时间,提出问题:我们画的都是格点三角形,直角边的长度都是整数,如果不是整数会不会成立?
问题激发学生进一步探究的兴趣。
让学生仔细观察,从而得出结论。
通过学生观察几何画板、亲自动手拼图、运算推演、互相交流,发现以直角三角形的各边为边所作的正方形面积之间的关系,由特殊到一般,使学生印象深刻,对于勾股定理的得出就水到渠成了,并让学生体会成功的乐趣。
引导学生从特殊到一般,发现直角三角形三边之间的数量关系。这一问题的结论是本节课的点睛之笔,应充分让学生总结,交流,表达。
四、归纳应用
1、归纳
(1)我们这节课是探索直角三角形三边数量关系。至此,你对直角三角形三边的数量关系有什么发现?
(2)直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。 也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c.那么(板书勾股定理内容,进而给出字母表达式,并给出勾股定理的几种表达式。)
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的直角边为股,斜边为弦,所以这个结论称为勾股定理。(如图1---5所示)(板书)其实这个结论早在公元前1000年被我国的商高发现并应用于测量土地,在国外,由于是古希腊的毕达哥拉斯于公元前500年发现的,所以此定理又称为毕达哥拉斯定理。
点出本节研究内容,也就是本节课题——探索勾股定理。
回顾思考:
1.怎样探索获得勾股定理的?
2.你体会到的数学方法有哪些?
之后教师梳理。
思考:
(1)勾股定理的使用条件是什么?
(2)有什么用?
给学生留有思考时间。
由学生用自己的语言概括自己所发现的规律。
学生突破本节学习目标。
课堂小结,让学生畅所欲言。
先让同桌之间相互说一说,再找同学分享给全班同学,其他同学不断补充,同学谈完后,老师梳理,
强调:勾股定理只有在直角三角形中才成立。
让学生自己总结归纳,培养学生的语言表达能力,并了解学生所学。
渗透勾股定理的历史,让学生了解勾股定理历史渊源深厚,激发学生的爱国情怀和民族自豪感。
以这样方式引出本节课题,回扣了一开始提出的研究目的:直角三角形三边之间的关系,渗透勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系。
这样不仅引导学生回顾本节所学,并培养学生的语言表达和归纳能力,同时也让学生对本节的探索流程有了更深的理解和认识,为下一节课勾股定理的证明做好铺垫。
2、应用
(1)求下列图形中未知数x,y,z的值。
(2)求下列三角形未知边的长。
(3)已知等边三角形ABC的边长是6cm.求:
(1)高AD的长;(2)△ABC的面积。
学生独立完成,然后小组交流,每组派代表给出本组结论。
展示答案,学生互相评价,总结类型、方法。
充分利用课本上的习题,巩固新知。
通过对勾股定理的基本应用,让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边,可以求第三边。
让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程,教师巡视,对有困难的同学给予帮助,促进全班同学共同进步,体现面向全体的教学原则。
让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程,教师巡视,对有困难的同学给予帮助,促进全班同学共同进步,体现面向全体的教学原则。
拓宽学生的思维,体会数学知识之间的联系,认识数学的转化思想。
一段紧张的探究和简单应用之后,给出一段关于勾股定理验证方法和文化价值的拓展,这样既激发了同学们的兴趣,又增加了课堂的愉快气氛。让学生感受到勾股定理的历史并了解一定的证明方法,增加了学生学习数学的兴趣。
五、达标检测
六、拓展视野
A组:(填空题)已知在直角三角形ABC中,∠C=90°
①若a=3,b=4,则c=________;②若a=6,c=10,则b=_______;③若c=25,b=15,则a=_______.
B组:学了勾股定理后,小明和小丽遇到这样一个问题:"在Rt△ABC中,如果a=3,b=4,则c=5."小明认为这个说法正确的,小丽觉得有问题,你觉得呢?并说明理由。
1、验证方法:古今中外,勾股定理的验证方法达500多种,上至总统下至数学爱好者。
2、文化价值:
(1)2002年国际数学家大会会标
(2)目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的"人 .为此向宇宙发出了许多信号。如地球上人类的语言。音乐。各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议。发射一种反映勾股定理的图形。如果宇宙人是"文明人 .那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
对于A组,采用学生独立完成,出示答案,同位互换,互批,小组计分,当堂反馈。
B组,根据情况,可以适当引导学生解此题的思路。
一段紧张的探究之后,结尾给出一段优美的音乐,配以老师的解说,让学生的情感再次升华。
设计两组题目,尊重学生的个体差异。
B组题目可以拓宽学生的思维,体会分类讨论思想。
学生独立完成,出示答案,同位互换,互批,小组计分,当堂反馈。便于老师及时了解学生对知识的掌握情况,如果出现共性问题,老师要拿出解决方案,对于个别学生的问题可以在课后进行补差。
激发学生利用网络资源,课下继续探讨学习和研究,提高学生学习数学的兴趣。同时也活跃了课堂气氛,展现了勾股历史,激发学生热爱祖国悠久历史文化,激励学生发奋学习的情感 .激发学生的民族自豪感,
教师寄语
给我最大快乐的,不是已懂得知识,而是不断的学习;不是已有的东西,而是不断的获取;不是已达到的高度,而是继续不断的攀登。
——高斯
同学们,学习知识的过程就是不断挑战,不断攀登的过程,相信我们通过自己的勤奋探索,一定会达到知识的最高峰!
《探索勾股定理》教学设计 篇2
[教学分析]
勾股定理是揭示三角形三条边数量关系的一条非常重要的性质,也是几何中最重要的定理之一。它是解直角三角形的主要依据之一,同时在实际生活中具有广泛的用途,“数学源于生活,又用于生活”正是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际操作,使学生获得较为直观的印象;通过联系比较、探索、归纳,帮助学生理解勾股定理,以利于进行正确的应用。
本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起,让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系,发现两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积,从而发现勾股定理,这时教科书以命题的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多,教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。之后,通过三个探究栏目,研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题中的应用,使学生对勾股定理的作用有一定的认识。
[教学目标]
一、 知识与技能
1、探索直角三角形三边关系,掌握勾股定理,发展几何思维。
2、应用勾股定理解决简单的实际问题
3、学会简单的合情推理与数学说理
二、 过程与方法
引入两段中西关于勾股定理的史料,激发同学们的兴趣,引发同学们的思考。通过动手操作探索与发现直角三角形三边关系,经历小组协作与讨论,进一步发展合作交流能力和数学表达能力,并感受勾股定理的应用知识。
三、 情感与态度目标
通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习兴趣;在探究活动中,学生亲自动手对勾股定理进行探索与验证,培养学生的合作交流意识和探索精神,以及自主学习的能力。
四、 重点与难点
1、探索和证明勾股定理
2熟练运用勾股定理
[教学过程]
一、创设情景,揭示课题
1、教师展示图片并介绍第一情景
以中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头为引,介绍周公向商高请教数学知识时的对话,为勾股定理的出现埋下伏笔。
周公问:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高答:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出九九八十一,故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘.得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”
2、教师展示图片并介绍第二情景
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前,他在朋友家做客时,发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。
二、师生协作,探究问题
1、现在请你也动手数一下格子,你能有什么发现吗?
2、等腰直角三角形是特殊的直角三角形,一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?
3、你能得到什么结论吗?
三、得出命题
勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。解释: 由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的边称为股,斜边称为弦,所以,把它叫做勾股定理。
四、勾股定理的证明
赵爽弦图的证法(图2)
第一种方法:边长为 的正方形可以看作是由4个直角边分别为 、 ,斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为 的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的`面积,所以可以列出等式 ,化简得 。
第二种方法:边长为 的正方形可以看作是由4个直角边分别为 、 ,斜边为 的
角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为 的正方形“小洞”。
因为边长为 的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式 ,化简得 。
这种证明方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。
五、应用举例,拓展训练,巩固反馈。
勾股定理的灵活运用勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题,今天我们就来运用勾股定理解决一些问题,你可以吗?试一试。
例题:小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机,小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?
六、归纳总结
1、内容总结:探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,利于勾股定理,解决实际问题
2、方法归纳:数方格看图找关系,利用面积不变的方法。用直角三角形三边表示正方形的面积观察归纳注意画一个直角三角形表示正方形面积,再次验证自己的发现。
七、讨论交流
让学生发表自己的意见,提出他们模糊不清的概念,给他们一个梳理知识的机会,通过提示性的引导,让学生对勾股定理的概念豁然开朗,为后面勾股定理的应用打下基础。
我们班的同学很聪明。大家很快就通过数格子发现了勾股定理的规律。还有什么地方不懂的吗?跟大家一起来交流一下。请同学们课后在反思天地中都发表一下自己的学习心得。
《探索勾股定理》教学设计 篇3
教学目标
1、知识与技能目标
用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系,会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.
2、过程与方法
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力;进一步体会数学与现实生活的紧密联系.
3、情感态度与价值观
在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快 乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久化的思想,激励学生发奋 学习.
教学重点:了结勾股定理的由,并能用它解决一些简单的问题。
教学难点:勾股定理的发现
教学准备:多媒体
教学过程:
第一环节:创设情境,引入新(3分钟,学生观察、欣赏)
内容:2002年世界数学家大会在我国北京召开,
投影显示本届世界数学家大会的会标:
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”
的图作为与“外星人”联系的信号.今天我们就一同探索勾股定理.(板书 题)
第二环节:探索发现勾股定理(15分钟,学生独立观察,自主探究)
1.探究活动一:
内容:(1)投影显示如下地板砖示意图,让学生初步观察:
(2)引导学生从面积角度观察图形:
问:你能发现各图中三个正 方形的面 积之间有何关系吗?
学生通过观察,归纳发现:
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.
2.探究 活动二:
由结论1我们自然产生联想:一般的直角三角形是否也具有该性质呢?
(1)观察下面两幅图:
(2)填表:
A 的面积
(单位面积)B的面积
(单位面积)C的面积
(单位面积)
左图
右图
(3)你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流.(学生可能会做出多种方法,教师应给予充分肯定.)
(4)分析填表的数据,你发现了什么?
学生通过分析数据,归纳出:
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.
3.议一议:
内容:(1)你能用直角三角形的边长 、 表示上图中正方形的`面积吗?
(2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
(3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?
勾股定理(gou-gu theorem):
如果直角三角形两直角边长分别为 、 ,斜边长为 ,那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
数学小史:勾股定理是我国最早发现的,中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,“勾股定理”因此而得名.
第三环节: 勾股定理的简单应用(7分钟,学生合作探究)
内容:
例 如图所示,一棵大树在一次强烈台风中于离
地面10m处折断倒下,
树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少?
(教师板演解题过程)
第四环节:巩 固练习(10分钟,学生先独立完成,后全班交流)
1、列图形中未知正方形的面积或未知边的长度:
2、生活中的应用:
小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机. 小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得 一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?
第五环节:堂小结(3分钟,师生对答,共同总结)
内容:教师提问:
1.这一节我们一起学习了哪些知识和思想方法?
2.对这些内容你有什么体会?请与你的同伴交流.
在学生自由发言的基础上,师生共同总结:
1.知识:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么 .
2.方法:① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用;
② 面积法;
③ “割、补、拼、接”法.
3.思想:① 特殊—一般—特殊;
② 数形结合思想.
第六 环节:布置作业(2分钟,学生分别记录)
内容:
作业:1.教科书习题1.1;
2.《读一读》——勾股世界;
3.观察下图,探究图中三角形的三边长是否满足 .
要求:A组(学优生):1、2、3
B组(中等生):1、2
C组(后三分之一生):1
板书设计:见电子屏幕
教学反思:
《探索勾股定理》教学设计 篇4
一、教学目标
(一)教学知识点
1.掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法.
2.运用勾股解决一些实际问题.
(二)能力训练要求
1.学会用拼图的方法验证勾股定理,培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.
2.在拼图过程中,鼓励学生大胆联想,培养学生数形结合的意识.
(三)情感与价值观要求
利用拼图的方法验证勾股定理,是我国古代数学家的`一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐,提高学习数学的兴趣.
二.教学重、难点
重点:勾股定理的证明及其应用.
难点:勾股定理的证明.
三.教学方法
教师引导和学生自主探索相结合的方法.
在用拼图的方法验证勾股定理的过程中.教师要引导学生善于联想,将形的问题与数的问题联系起来,让学生自主探索,大胆地联系前面知识,推导出勾股定理,并自己尝试用勾股定理解决实际问题.
四.教具准备
1.每个学生准备一张硬纸板;
2.投影片三张:
第一张:问题串(记作1.1.2 A);
第二张:议一议(记作1.1.2 B);
第三张:例题(记作1.1.2 C).
五.教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]我们曾学习过整式的运算,其中平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的内容.谁还能记得当时这两个公式是如何推出的?
[生]利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边.例如(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,所以平方差公式是成立的.
[生]还可以用拼图的方法来推出.例如:(a+b)2=a2+2ab+b2.我们可以用一个边长为a的正方形,一个边长为b的正方形,两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为(a+b)的正方形,那么这个大的正方形的面积可以表示为(a+b)2;又可以表示为a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
《探索勾股定理》教学设计 篇5
教学目标
知识与技能:
了解勾股定理的一些证明方法,会简单应用勾股定理解决问题
过程与方法:
在充分观察、归纳、猜想的基础上,探究勾股定理,在探究的过程中,发展合情推理,体会数形结合、从特殊到一般等数学思想。
情感态度价值观:
通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍,培养学生的民族自豪感。
教学过程
1、创设情境
问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”。2002年在北京召开了第24届国际数学家大会。下图就是大会会徽的图案。你见过这个图案吗?它由哪些我们学习过的基本图形组成?这个图案有什么特别的含义?
师生活动:教师引导学生寻找图形中的直角三角形和正方形等,并引导学生发现直角三角形的全等关系,指出通过今天的学习,就能理解会徽图案的含义。
设计意图:本节课是本章的起始课,重视引言教学,从国际数学家大会的会徽说起,设置悬念,引入课题。
2、探究勾股定理
观看洋葱数学中关于勾股定理引入的视频,让我们一起走进神奇的数学世界
问题2相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用转铺成的地面图案反应了直角三角形三边的某种数量关系,请你观察下图,你从中发现了什么数量关系?
师生活动:学生先独立观察思考一分钟后,小组交流合作分析图形中两个蓝色正方形与橙色正方形有哪些数量关系,教师参与学生的讨论
追问:由这三个正方形的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间又有怎么样的关系?
师生活动:教师引导学生发现正方形的面积等于边长的平方,归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图:从最特殊的等腰直角三角形入手,便于学生观察得到结论
问题3:数学研究遵循从特殊到一般的数学思想,既然我们得到了等腰直角三角形三边的.这种特殊的数量关系,那我们不妨大胆猜测在一般的直角三角形(在下图的方格纸中,每个方格的面积是1)中,这种特殊的数量关系也同样成立。
师生活动:学生独立思考后小组讨论,难点是如何证明求以斜边为边长的正方形的面积,可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法,求出其面积。
《探索勾股定理》教学设计 篇6
课题:
勾股定理
课型:
新授课
课时安排:
1课时
教学目的:
一、知识与技能目标理解和掌握勾股定理的内容,能够灵活运用勾股定理进行计算,并解决一些简单的实际问题。
二、过程与方法目标通过观察分析,大胆猜想,并探索勾股定理,培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
三、情感、态度与价值观目标了解中国古代的数学成就,激发学生爱国热情;学生通过自己的努力探索出结论获得成就感,培养探索热情和钻研精神;同时体验数学的美感,从而了解数学,喜欢几何。
教学重点:
引导学生经历探索及验证勾股定理的过程,并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题
教学难点:
用面积法方法证明勾股定理
课前准备:
多媒体ppt,相关图片
教学过程:
(一)情境导入
1、多媒体课件放映图片欣赏:勾股定理数形图,1955年希腊发行的'一枚纪念邮票,美丽的勾股树,2002年国际数学大会会标等。通过图形欣赏,感受数学之美,感受勾股定理的文化价值。
2、多媒体课件演示FLASH小动画片:某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?已知一直角三角形的两边,如何求第三边?学习了今天的这节课后,同学们就会有办法解决了。
(二)学习新课问题一是等腰直角三角形的情形(通过多媒体给出图形),判断外围三个正方形面积有何关系?相传2500年前,毕达哥拉斯(古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家)有一次在朋友家做客时,发现朋友家里用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。你能观察图中的地面,看看能发现什么?对于等腰直角三角形有这样的性质:两直边的平方和等于斜边的平方那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢?请大家画一个任意的直角三角形,量一量,算一算。问题二是一般直角三角形的情形,判断这时外围三个正方形的面积是否也存在这种关系?通过这个观察和验算这个直角三角形外围的三个正方形面积之间的关系,同学们发现了什么规律吗?通过前面对两个问题的验证,可以得到勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
(三)巩固练习1、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米,那么这个三角形的周长是多少厘米?2、解决课程开始时提出的情境问题。
(四)小结
1、背景知识介绍①《周髀算径》中,西周的商高在公元一千多年前发现了“勾三股四弦五”这一规律;②康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法,积求勾股法是他的独创。
2、通过这节课的学习,你会写方程了吗?你有什么收获和体会?
(五)作业练习18.1中的1、2、3题。板书设计:勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
《探索勾股定理》教学设计 篇7
学习目标
1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.
2.探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数型结合的思想。
重点难点
或学习建议学习重点:用面积的方法说明勾股定理的正确.
学习难点:勾股定理的应用.
学习过程教师
二次备课栏
自学准备与知识导学:
这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。
邮票上的图案是根据一个著名的`数学定理设计的。
学习交流与问题研讨:
1、探索
问题:分别以图中的直角三角形三边为边向三角形外
作正方形,小方格的面积看做1,求这三个正方形的面积?
S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=
发现:
2、实验
在下面的方格纸上,任意画几个顶点都在格点上的三角形;并分别以这个三角形的各边为一边向三角形外做正方形并计算出正方形的面积。
请完成下表:
S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形ABHI的关系
112
145
41620
91625
发现:
如何用直角三角形的三边长来表示这个结论?
这个结论就是我们今天要学习的勾股定理:
如图:我国古代把直角三角形中,较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”,所以勾股定理可表示为:弦股还可以表示为:或勾
练习检测与拓展延伸:
练习1、求下列直角三角形中未知边的长
练习2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注:下列各图中的三角形均为直角三角形)
例1、如图,在四边形中,∠,∠,,求.
检测:
1、在Rt△ABC中,∠C=90°(1)若a=5,b=12,则c=________;
(2)b=8,c=17,则S△ABC=________。
2、在Rt△ABC中,∠C=90,周长为60,斜边与一条直角边之比为13∶5,则这个三角形三边长分别是()
A、5、4、3、;B、13、12、5;C、10、8、6;D、26、24、10
3、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()
A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm
4、要登上8m高的建筑物,为了安全需要,需使梯子底端离建筑物6m,至少需要多长的梯子?(画出示意图)
5、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4千米处,过了20秒,飞机距离这个男孩5千米,飞机每小时飞行多少千米?
课后反思或经验总结:
1、什么叫勾股定理;
2、什么样的三角形的三边满足勾股定理;
3、用勾股定理解决一些实际问题。
《探索勾股定理》教学设计 篇8
【学习目标】
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
【学习重点】
勾股定理及直角三角形的判别条件的运用.
【学习重点】
直角三角形模型的建立.
【学习过程】
一.课前复习
勾股定理及勾股定理逆定理的区别
二.新课学习
探究点一:蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路径问题
1.3如图,有一个圆柱,它的高等于12cm,底面圆的周长是18cm.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
思考:
1.利用学具,尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路,你认为
这样的线路有几条?可分为几类?
2.将右图的圆柱侧面剪开展开成一个长方形,B点在什么位置?从
A点到B点的最短路线是什么?你是如何画的?
1.33.蚂蚁从A点出发,想吃到B点上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?你是如何解答这个问题的?画出图形,写出解答过程。
4.你是如何将这个实际问题转化为数学问题的?
小结:
你是如何解决圆柱体侧面上两点之间的最短距离问题的?
探究点二:利用勾股定理逆定理如何判断两线垂直?
1.31.31.3李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB,
但他随身只带了卷尺。(参看P13页雕塑图1-13)
(1)你能替他想办法完成任务吗?
1.31.3(2)李叔叔量得AD的长是30cm,AB的长是40cm,
BD长是50cm.AD边垂直于AB边吗?你是如何解决这个问题的?
(3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?
小结:通过本道例题的探索,判断两线垂直,你学会了什么方法?
探究点三:利用勾股定理的方程思想在实际问题中的应用
例图1-14是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC的长.
1.3
思考:
1.求滑道AC的长的问题可以转化为什么数学问题?
2.你是如何解决这个问题的?写出解答过程。
小结:
方程思想是勾股定理中的重要思想,勾股定理反应的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础.
四.课堂小结:本节课你学到了什么?
三.新知应用
1.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最近距离.
1.3
2.如图,在水池的正中央有一根芦苇,池底长10尺,它高出水而1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它的'顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是()
1.3
五.作业布置:习题1.41,3,4题
【反思】
一、教师我的体会:
①、我根据学生实际情况认真备课这节课,书本总共两个例题,且两个例题都很难,如果一节课就讲这两题难题,那一方面学生的学习效率会比较低,另一方面会使学生畏难情绪增加。所以,我简化教材,使教材易于操作,让学生易于学习,有利于学生学习新知识、接受新知识,降低学习难度。
把教材读薄,
②、除了备教材外,还备学生。从教案及授课过程也可以看出,充分考虑到了学生的年龄特点:对新事物有好奇心,但对新知识的钻研热情又不够高,这样,造成教学难度较大,为了改变这一状况,在处理教材时,把某些数学语言转换成通俗文字来表达,把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力,让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学,乐于学习数学。
③、新课选用的例子、练习,都是经过精心挑选的,运用性强,贴近生活,与生活实际紧密联系,既达到学习、巩固新知识的目的,同时,又充分展现出数学教学的重大特征:数学源于生活实际,又服务于生活实际。勾股定理源于生活,但同时它又能极大的为生活服务。
④、使用多媒体进行教学,使知识显得形象直观,充分发挥现代技术作用。
二、学生体会:
课前,我们也去查阅了一些资料,关于勾股定理的证明以及有关的一些应用,通过这节课,真真发现勾股定理真真来源于生活,我们的几何图形和几何计算对于勾股定理来说非常广泛,而且以后更要用好它。对于勾股定理都应用时,我觉得关键是找到相关的三角形,并且分清直角边或斜边,灵活机智地进行计算和一些推理。另外与同学间在数学课上有自主学习的机会,有相互之间的讨论、争辩等协作的机会,在合作学习的过程中共同提高我觉得都是难得的机会。锻炼了能力,提高了思维品质,并且勾股定理的应用中我觉得图形很美,古代的数学家已经有了很好的研究并作出了很大的贡献,现代的艺术家们也在各方面用到很多,同时在课堂中渐渐地培养了我们的数学兴趣和一定的思维能力。
不过课堂上老师在最后一题的画图中能放一放,让我们有时间去思考怎么画,那会更好些,自然思维也得到了发展。课上老师鼓励我们尝试不完善的甚至错误的意见,大胆发表自己的见解,体现了我们是学习的主人。数学课堂里充满了智慧。
《探索勾股定理》教学设计 篇9
一、学生知识状况分析
本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动。学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识,并从事过相应的实践活动,因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。
二、教学任务分析
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第3节。具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。当然,在这些具体问题的解决过程中,需要经历几何图形的抽象过程,需要借助观察、操作等实践活动,这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识;一些探究活动具体一定的难度,需要学生相互间的合作交流,有助于发展学生合作交流的能力。
三、本节课的教学目标是:
1.通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的.空间观念.
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.
利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题是本节课的重点也是难点.
四、教法学法
1.教学方法
引导—探究—归纳
本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导:
(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程;
(2)从学生活动出发,顺势教学过程;
(3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程.
2.课前准备
教具:教材、电脑、多媒体课件.
学具:用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.
五、教学过程分析
本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三环节:做一做;第四环节:小试牛刀;第五环节:举一反三;第六环节:交流小结;第七环节:布置作业.
1.3勾股定理的应用:课后练习
一、问题引入:
1、勾股定理:直角三角形两直角边的________等于________。如果用a,b和c表示直角三角形的两直角边和斜边,那么________。
2、勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足________,那么这个三角形是直角三角形
1.3勾股定理的应用:同步检测
1.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为( )
A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米
2.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学,速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟,而小刚从家出发先去找小明再到学校(均走直线),小刚到小明家用了6分钟,小明家到学校用了8分钟,小刚上学走了个( )
A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定
3.如图,是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A.5≤a≤12 B.5≤a≤13 C.12≤a≤13 D.12≤a≤15
4.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第( )组.
A.13,12,12 B.12,12,8 C.13,10,12 D.5,8,4
《探索勾股定理》教学设计 篇10
教学目标
1、知识与技能目标
学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念.
2、过程与方法
(1)经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力.
(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
3、情感态度与价值观
(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.
(2)在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.
教学重点:
探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题.
教学难点:
利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题.
教学准备:
多媒体
教学过程:
第一环节:创设情境,引入新课(3分钟,学生观察、猜想)
情景:
如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?
第二环节:合作探究(15分钟,学生分组合作探究)
学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总结出最短路线。让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的'方法:建立数学模型,构图,计算.
学生汇总了四种方案:
(1) (2) (3)(4)
学生很容易算出:情形(1)中A→B的路线长为:AA’+d,情形(2)中A→B的路线长为:AA’+πd/2所以情形(1)的路线比情形(2)要短.
学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形,前三种情形A→B是折线,而情形(4)是线段,故根据两点之间线段最短可判断(4)最短.
如图:
(1)中A→B的路线长为:AA’+d;
(2)中A→B的路线长为:AA’+A’B>AB;
(3)中A→B的路线长为:AO+OB>AB;
(4)中A→B的路线长为:AB.
得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解决问题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体,具体观察.接下来后提问:怎样计算AB?
在Rt△AA′B中,利用勾股定理可得,若已知圆柱体高为12c,底面半径为3c,π取3,则.
第三环节:做一做(7分钟,学生合作探究)
教材23页
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺,
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长是50厘米,AD边垂直于AB边吗?为什么?
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?
第四环节:巩固练习(10分钟,学生独立完成)
1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8:00甲先出发,他以6/h的速度向正东行走,1小时后乙出发,他以5/h的速度向正北行走.上午10:00, 甲、乙两人相距多远?
2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最近距离.
3.有一个高为1.5米,半径是1米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5米,问这根铁棒有多长?
第五环节 课堂小结(3分钟,师生问答)
内容:
1、如何利用勾股定理及逆定理解决最短路程问题?
第六 环节:布置作业(2分钟,学生分别记录)
内容:
作业:1.课本习题1.5第1,2,3题.
要求:A组(学优生):1、2、3
B组(中等生):1、2
C组(后三分之一生):1
板书设计:
教学反思:
《探索勾股定理》教学设计 篇11
学习目标:
1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.
2、通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.
学习重点:
1.用面积的方法说明勾股定理的正确.
2. 勾股定理的应用.
学习难点:
勾股定理的应用.
学习过程:
一、学前准备:
1、阅读课本第46页到第47页,完成下列问题:
(1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的称为股,斜边称为弦。图(1)称为“弦图”,最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图(2)是在北京召开的2002年国际数学家大会(TCM-2002)的会标,其图案正是“弦图”,它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗?
2、剪四个完全相同的直角三角形,然后将它们拼成如图所示的图形。大正方形的'面积可以表示为_________________________,又可以表示为__________________________.对比两种表示方法,看看能不能得到勾股定理的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形,还可以拼成如下图所示的图形,与上面的方法类似,也能说明勾股定理是正确的方法(请逐一说明)
二、合作探究:
(一)自学、相信自己:
(二)思索、交流:
拼图填空:剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,如图①.(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和
(三)应用、探究:
1、如图 ,为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离,一个观测者在点C设桩,使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量,得到AC长160米,BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远?
(四)巩固练习:
1、如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字
母A所代表的正方形面积是 _________ 。
三.学习体会:
本节课我们进一步认识了勾股定理,并用两种方法证明了这个定理,在应用此定理解决问题时,应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系,如果不是直角三角形应该构造直角三角形来解决。
2②图
四.自我测试:
五.自我提高:
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